Déterminer le reste d'une division euclidienne

\(n\) désigne un entier naturel.

Question

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(7n+16\) par \(2n+3\)

Indice

On pourra remarquer que \(7n+16 = 3(2n+3)+...\)

Solution

\(7n+16 = 3(2n+3)+n+7\). La tentation est grande de dire que le quotient est \(3\) et le reste vaut \(n+7\). Cela n'est vrai que si \(0\leqslant n+7 < 2n+3\)

Résolvons l'inéquation dans \(\mathbb N\) :

\(0\leqslant n+7 < 2n+3 \Leftrightarrow n+7 < 2n+3\) puisque \(n \geqslant 0\)

\(0\leqslant n+7 < 2n+3 \Leftrightarrow 4< n\)

\(0\leqslant n+7 < 2n+3 \Leftrightarrow n \geqslant 5\)

Donc pour \(n \geqslant 5\), le reste de la division euclidienne de \(7n+16\) par \(2n+3\) est \(n+7\)

cas n < 5

Pour étudier ce cas, il suffit simplement d'envisager toutes les valeurs de \(n\), par exemple en remplissant un tableau.

\(n\)

\(7n+16\)

\(2n+3\)

reste

0

16

3

1

1

23

5

3

2

30

7

2

3

37

9

1

4

44

11

0