Raisonnement par disjonction des cas
\(n\) désigne un entier naturel et on note \(A = n(n^2+5)\)
Question
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(A\) est divisible par \(3\).
Indice
On pourra s'intéresser à la division euclidienne de \(n\) par \(3\).
Solution
Le reste \(r\) de la division euclidienne de \(n\) par \(3\) vaut 0, 1 ou 2.
Méthode : Disjonction des cas
Lorsque plusieurs valeurs sont possibles, on étudie chacune d'entre elle. On parle alors de démonstration par disjonction des cas.
cas r=0
On a alors \(n = 3q\) où \(q\in \mathbb N\) et \(A = 3q(9q^2+5)\) est un multiple de \(3\).
cas r=1
On a alors \(n = 3q+1\) où \(q\in \mathbb N\) et \(A = (3q+1)((3q+1)^2+5)\)
Développons : \(A = (3q+1)((9q^2+6q+1+5) = (3q+1)((9q^2+6q+6) = 3 (3q+1)(3q^2+2q+2)\)
\(A\) est un multiple de 3.
cas r=2
On a alors \(n = 3q+2\) où \(q\in \mathbb N\) et \(A = (3q+2)((3q+2)^2+5)\)
Développons : \(A = (3q+2)((9q^2+12q+4+5) = (3q+2)((9q^2+12q+9) = 3 (3q+2)(3q^2+4q+3)\)
\(A\) est un multiple de 3.