Antécédent
Définition : Antécédent d'un nombre par une fonction
Soit \(f\) une fonction. Si \(f(a)=b\) on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\) par \(f\).
Remarque :
Si b est l'image de a par f, a est un antécédent de b par f. Image et antécédent sont donc des notions réciproques.
Attention :
Si l'image d'un nombre par une fonction est nécessairement unique, il n'en est pas du tout de même pour les antécédents qui peuvent être multiples ou même ne pas exister !
Exemple : Fonction carré
Considérons la fonction carré qui à tout nombre associe son carré.
\((-2)^2 = 2^2 =4\) donc 4 a deux antécédents : 2 et -2.
Un carré est toujours positif donc -4 n'admet aucun antécédent par f.
Méthode : Déterminer les antécédents éventuels
Déterminer les antécédents éventuels d'un nombre \(y\) par une fonction \(f\) revient à résoudre l'équation \(f(x)=y\).
Exemple :
Pour déterminer des antécédents éventuels du nombre 4 par la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=4x+3\), on résout l'équation \((E) f(x)=4\).
\((E) \Leftrightarrow 4x+3=4\)
\((E) \Leftrightarrow 4x=1\)
\((E) \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
Le nombre 4 a donc un antécédent unique par f : \(\frac{1}{4}\).