Fonction définie par une expression algébrique
On considère la fonction k qui à x associe le nombre \(k(x)=\frac{2x+1}{-x+4}\).
Question
Quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?
Indice
On se rappelle que la division par 0 est interdite ! !
Solution
Pour déterminer les valeurs interdites, on cherche les valeurs de x qui annulent le dénominateur. On résout donc l'équation \((E) -x+4=0\)
\((E) \Leftrightarrow x=4\) (en ajoutant x de part et d'autre de l'égalité.
Il y a donc une unique valeur interdite : 4. L'ensemble de définition de la fonction k est donc \(D_k=]-\infty ;4[ \cup ]4 ;+\infty[\)
Le calcul de l'image d'un nombre par la fonction k est possible pour tous les réels différents de 4.
Complément :
On notera au passage le sens des crochets : ouverts en 4
On remarquera l'utilisation du symbole "U" qui se lit union et qui permet de réunir les deux intervalles.
Question
Calculer k(5)
Indice
Vérifier que le calcul est possible
Indice
Remplacer x par 5 dans l'expression de k
Solution
\(5\neq4\) donc 5 est dans l'ensemble de définition de k (ce que l'on peut écrire \(5\in D_k)\)
On remplace x par \(\fbox{5}\) dans l'expression \(k(x)=\frac{2x+1}{-x+4}\)
\(k(\fbox{5})=\frac{2\times \fbox{5}+1}{-\fbox{5}+4}=\frac{11}{-1}=-11\)
L'image de 5 par k est -11.