Les suites

Soit \((c_n)_{n\ge1}\)la suite donnant les côtés successifs des côtés des nouveaux carrés construits  à chaque étape :

\(c_1=1\)

\(c_2=c_1\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

En effet, la diagonale des nouveaux carrés de l'étape 2 est égale au côté du carré initial, donc il faut diviser \(c_1\) par \(\sqrt{2}\).

De même :

\(c_3=c_2\times \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\)

...

\(c_{n+1}=c_n\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}=c_n\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

La suite \((c_n)_{n\ge1}\) est une suite géométrique de 1er terme =1 et de raison \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc, \(c_n=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}\).

L'aire de chaque carré est donc \(a_n=(c_n)²=\left({\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}}\right)^2=\left({\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}\right)^{n-1}\), donc :

\(a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\)

L'aire totale à l'étape 2 est :

\(1+4a_2=1+4\times\dfrac{1}{2}\)

L'aire totale à l'étape 3 est :

\(1+4a_2+4a_3=1+4\times\dfrac{1}{2}+4\times\dfrac{1}{2²}\)

L'aire totale à l'étape n (pour ) est égale à :

\(1+4a_2+4a_3+...+4a_n=1+4\times\dfrac{1}{2}+4\times\dfrac{1}{2²}+4\times\dfrac{1}{2^3}+...+4\times\dfrac{1}{2^{n-1}}\)

\(=1+4\times\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\)

\(=1+4\times \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{n-2}}\right)\)

\(=1+2\times\left(\dfrac{1-\dfrac{1}{2^{n-1}}}{1-\dfrac{1}{2}}\right)\)

\(=1+2\times2\times\left(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\)

\(1+4\times\left(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\)

\(=1+4-4\times\dfrac{1}{2^{n-1}}\)

\(=5-\dfrac{1}{2^{n-3}}\)

Donc l'aire l'aire totale de la figure est toujours inférieure à 5.

D'autre part, on peut constater que la limite quand n tend vers \(+\infty\) de l'aire de la figure est 5, car \(\dfrac{1}{2^{n-3}}\)tend vers 0 quand n tend vers \(+\infty\) (on reverra cette notion en terminale).