Suite arithmético-géométrique
Un nouveau type de suite
Considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1}=0,5 u_n+3\) et \(u_0=10\).
Question
Calculer les termes \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?
Considérons maintenant la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n-6\).
Question
Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.
En déduire la forme explicite de \((v_n)\) puis celle de \((u_n)\).
Solution
Montrons que \((v_n)\) est géométrique de raison 0,5 et de 1er terme \(v_0=u_0-4=10-4=6\).
Calculons d'une part \(v_{n+1}\) et d'autre part \(0,5\times v_n\) :
\(v_{n+1}=u_{n+1}-6=0,5u_n+3-6=0,5u_n-3\)
et
\(0,5v_n=0,5(u_n-6)=0,5u_n-0,5\times3=0,5u_n-3\).
La suite est donc bien géométrique de raison 0,5.
Alors \(v_n=4\times0,5^n\) et \(u_n=v_n+6=4\times 0,5^n+6\)