Somme Sn=1+q²+...+q^n
Fondamental :
Pour tout \(n\geq1\) et \(q\neq0\), la somme \(S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n q^i=1+q+q²+...+q^{n}\) vaut \(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\).
Complément : Démonstration
Posons \(S=1+q+q²+...+q^n\).
Alors \(qS=q+q²+q^3+...+q^{n+1}\)
On peut alors écrire, en soustrayant membre à membre les deux égalités précédentes :
\(S-qS=1+q+q²+...+q^n-(q+q²+q^3+...+q^{n+1})\)
donc en factorisant le membre de gauche, et en simplifiant celui de droite, on obtient :
\((1-q)S=1-q^{n+1}\)
D'où :\(S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Exemple :
Calculer \(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\) :
Il suffit d'appliquer la formule précédente avec \(q=\frac{1}{2}\) et n=5 :
Donc \(S=\frac{1-\frac{1}{2^5}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{31}{32}\times\frac{2}{1}=\frac{31}{16}\)