Comment démontrer qu'une suite est ou n'est pas géométrique ?
Démontrer qu'une suite n'est pas géométrique
Il suffit de calculer par exemple \(\frac{u_1} {u_0}\) et \(\frac{u_2}{u_1}\) et de constater que ces deux produits ne sont pas égaux :
Question
Démontrer que la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=n²+1\) n'est pas géométrique.
Solution
Calculons \(\frac{u_1} {u_0}\) et \(\frac{u_2}{u_1}\) :
\(\frac{u_1}{u_0}={1²+1}/{0²+1}=2\) et \(\frac{u_2}{u_1}=\frac{2²+1}{1²+1}=\frac{5}{2}\). Ces deux nombres sont différents donc la suite \((u_n)\) n'est pas géométrique.
Démontrer qu'une suite est géométrique :
On cherche la valeur des 1er termes pour deviner la raison q et on démontre que \(u_{n+1}=q\times u_n\), ou on démontre que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est une constante.
Question
Montrer que la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=3\times\left(-2\right)^n\) est géométrique. Préciser son 1er terme et sa raison.
Indice
Attention, il se suffit pas de calculer les 1ers termes et leurs quotients...
Solution
Calculons \(u_0=3\times(-2)^0=3\), \(u_1=3\times(-2)^1=-6\), \(u_2=3\times(-2)^2=12\).
En calculant \(\frac{u_1}{u_0}\) et \(\frac{u_2}{u_1}\), on trouve -2.
Nous allons démontrer que \(u_{n+1}=-2 u_n\) en calculant séparément les deux membres de cette égalité :
\(u_{n+1}=3\times(-2)^{n+1}=3\times(-2)^n\times(-2)^1\).
D'autre part, \(-2\times u_n=-2\times 3\times(-2)^n=(-2)^1\times3\times(-2)^n\).
L'égalité est donc bien démontrée.