Relation fonctionnelle
Exemple : Découverte de la relation
Remplir, à l'aide de la calculatrice, avec des valeurs approchées au millième, le tableau suivant :
a | b | ln a | ln b | ln (a b) | ln a + ln b |
|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | ||||
1 | 2 | ||||
2 | 3 | ||||
3 | 4 |
Fondamental : Relation fonctionnelle
Pour tout réels x et y strictement positifs, on a \(\ln~(x\times y)=\ln x + \ln y\)
Remarque :
On voit d'après cette relation fondamentale que le logarithme a la propriété de transformer les produits en somme. Cette technique était utilisée avant l'invention des calculatrices pour effectuer plus rapidement des multiplications. On utilisait alors des tables de logarithmes. Voir pour cela l'exemple au paragraphe suivant.
Complément : Démonstration
Passons par l'exponentielle pour exploiter ses propriétés de calcul. On a :
\(x\times y=e^{\ln (x\times y)}\)
mais aussi :
\(x\times y=e^{\ln x}\times e^{\ln y}=e^{\ln x + \ln y}\)
Donc finalement \(e^{\ln (x\times y)}=e^{\ln x + \ln y}\)
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), l'égalité reste vraie sans les exponentielles. On en conclut que \(\ln~(x\times y)=\ln x + \ln y\) pour tous nombres réels \(x\) et \(y\) strictement positifs.