Racine n-ième d'un nombre
Définition : Propriété et définition
Soit \(k\) un nombre strictement positif connu et \(n\) un entier naturel non nul.
Dans \(]0 ;+\infty[\), l'équation \(x^n=k\) possède une unique solution \(x=k^{1/n}\).
Le nombre \(k^{1/n}\) est la racine n-ième de k.
Complément :
\(\ln(k^{1/n})=\dfrac{1}{n}\ln k\) donc\( k^{1/n}=\text{e}^{\tfrac{1}{n}\ln k}\) par passage à l'exponentielle.
\(\left(k^{1/n}\right)^n=\left(\text{e}^{\tfrac{1}{n}\ln k}\right)^n=\text{e}^{n\tfrac{1}{n}\ln k}=\text{e}^{\ln k}=k\).
La racine n-ième de k élevée à la puissance n donne bien k.
Exemple : Exemple d'application concrète
La consommation d'électricité par habitant en Chine est passée de 993kWh en 2000 à 2455kWh en 2008.
On suppose que, chaque année, la consommation a été multipliée par le même nombre. (Autrement dit, la suite des consommations annuelles est une suite géométrique)
Quelle est l'augmentation annuelle moyenne en pourcentage de la consommation d'électricité en Chine ? (Autrement dit, quelle est la raison de cette suite ?)
Si \(q\) est le coefficient multiplicateur correspondant à l'augmentation de la consommation en un an, alors on peut écrire que \(2455=993\times q^8\)
Par conséquent, \(q^8=\dfrac{2455}{993}\approx 2,4723\).
On a donc \(q=\left(\dfrac{2455}{993} \right) ^{1/8}=\text{e}^{\tfrac{1}{8}\ln \tfrac{2455}{993}} \approx 1,1198\).
Le pourcentage d'augmentation correspondant est donc \((q-1)\times 100\approx 12\) donc 12% par an.
Autre méthode : \(q^8=\dfrac{2455}{993}\) donc en prenant le logarithme népérien de chaque côté, on obtient :
\(\ln~(q^8)=\ln~ \left(\dfrac{2455}{993}\right)\) donc \(8\ln q=\ln \left(\dfrac{2455}{993}\right)\).
Il en résulte que :\(\ln~q=\dfrac{\ln \left(\tfrac{2455}{993}\right)}{8}\) et donc \(q=\text{e}^{\tfrac{\ln~ \left(\tfrac{2455}{993}\right)}{8}}\).