Déterminer un seuil
Un procédé de fabrication industrielle d'un enduit nécessite l'incorporation toutes les heures d'un adjuvant.
Au début du procédé, pour \(t=0\), on incorpore 4 litres de cet adjuvant. Puis, toutes les heures, il ne reste que la moitié de l'adjuvant en cuve et on incorpore à nouveau 4 litres d'adjuvant dans le mélange :
Ainsi au bout de \(n\) heures, la quantité \(S_n\) d'adjuvant dans le mélange est donnée par la formule :
\(S_n=4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+ ... + 4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ 4\times \dfrac{1}{2}+4\)
(en effet, \(S_0=4\))
\(S_1=\frac{1}{2}\times S_0+4=\frac{1}{2} \times 4+4\)
\(S_2=\frac{1}{2}\times S_1+4=\frac{1}{2}\times (\frac{1}{2}\times 4+4)+4=\left(\frac{1}{2}\right)^2\times4+\frac{1}{2}\times 4+4\) et ainsi de suite...)
Question
Montrer que \(S_n=8-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Indice
On se rappelle de cette formule vue au chapitre des suites donnant la somme des termes d'une suite géométrique, ici de raison 1/2 et de premier terme 4.
Solution
\(S_n=4\dfrac{1- \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1- \dfrac{1}{2}}\) car le premier terme est 4 et que nous avons \(n+1\) termes dans notre somme.
Le dénominateur est \(\frac{1}{2}\). Or, diviser par \(\frac{1}{2}\) c'est multiplier par 2. La somme devient donc
\(S_n=4\left[1- \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right]\times 2=8-8\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times\frac{1}{2}=8-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)
Un autre moyen d'arriver à ce résultat est aussi de considérer que la suite \((S_n)\) est une suite arithmético-géométrique définie par \(S_{n+1}=\frac{1}{2}S_n+4\) et en posant \(T_n=S_n-8\) et en montrant que \(T_n\) est une suite géométrique. cf ici
Question
Déterminer la limite de la suite \(S_n\). Interpréter ce résultat.
Indice
On se remémorera utilement cette partie du chapitre sur les suites.
Solution
La raison \(\frac{1}{2}\) étant comprise entre 0 et 1 strictement, la limite de \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) quand n tend vers l'infini est 0.
On en déduit que la limite de \(S_n\) est \(8-4\times 0\) donc 8.
Cela signifie qu'à long terme, le mélange contiendra quasiment 8 litres d'adjuvant.
Question
Déterminer le nombre d'heures au bout duquel le mélange contiendra plus de 7,9 litres d'adjuvant.
Indice
Lors du premier chapitre sur les suites, ne connaissant pas la fonction logarithme, nous avions recours à un algorithme pour répondre à ce type de problématique.
Indice
On montrera que le problème se ramène à résoudre l'inéquation \(0,5^n<\dfrac{0,1}{4}\)
Solution
On cherche à résoudre l'inéquation \(S_n>7,9\). Cela revient à dire que \(8-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n>7,9\)
En isolant l'inconnue n à gauche, on a \(-4\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n>7,9-8=-0,1\).
En divisant par \(-4\), on inverse le sens de l'inégalité donc :
\(0,5^n<\dfrac{0,1}{4}\)
Méthode :
Appliquons à présent la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante, aux deux membres de l'inégalité. Le sens de celle-ci se trouve inchangé.
\(\ln (0,5^n)<\ln(0,025)\) donc en appliquant les propriétés du logarithme :
\(n\times \ln~0,5>\ln~0,025\)
Il nous faut maintenant diviser par \(\ln 0,5\) mais attention car ce nombre est négatif (-0,69 environ) ! ! On renverse donc encore le sens de l'inégalité.
\(n>\dfrac{\ln 0,025}{\ln 0,5}\approx 5,3\)
n étant un nombre entier d'heures, on en déduit qu'au delà de 6 heures, la quantité d'adjuvant ajoutée dépasse 7,9 litres.