Résoudre des équations simples

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

Question

\(\ln x=-2\)

Indice

\(\ln a=b\) si et seulement si \(a=e^b\)

Solution

Méthode

\(\ln x=-2\) équivaut à \(x=e^{-2}\). C'est donc l'unique solution dont une valeur approchée est \(0,135\)

Question

\(e^{x+1}=5\)

Indice

Pour tout \(x\), \(x=e^{\ln x}\)

Solution

Méthode

\(e^{x+1}=5\) équivaut à \(e^{x+1}=e^{\ln 5}\)

Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) donc l'équation se ramène à une équation sans exponentielle :

\(x+1=\ln 5\). La solution est donc \(x=\ln 5-1\).

Attention

On ne confondra bien sûr pas \(\ln 5-1\) et \(\ln 4\) ! !

Question

\(3\ln x-4=8\)

Indice

Ramener l'équation à une forme \(\ln x=a\).

Solution

Méthode

\(3\ln x-4=8\) équivaut à \(3\ln x=12\) et donc \(\ln x=4\)

Or on sait que \(\ln x=4\) équivaut à \(x=e^4\). La solution unique est donc \(e^4\).