Suites majorées, minorées, bornées
Définition :
Soit \((u_n)\) une suite définie sur \(\mathbb N\).
La suite \((u_n)\) est dite majorée s'il existe un réel M tel que pour tout \(n\in \mathbb N, u_n\leqslant M\)
La suite \((u_n)\) est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout \(n\in \mathbb N, u_n\geqslant m\)
La suite \((u_n)\) est dite bornée si elle est majorée et minorée.
Exemple :
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=n^2-5\)
On sait que \(n^2\geqslant 0\) pour tout \(n\).
donc \(n^2-5\geqslant -5\) pour tout \(n\).
La suite \((u_n)\) est donc minorée par -5.
Exemple :
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n=3\cos n -1\).
On sait que \(-1\leqslant \cos n\leqslant 1\) pour tout \(n\).
donc \(-3\leqslant 3\cos n\leqslant 3\) pour tout \(n\).
donc \(-4\leqslant 3\cos n -1 \leqslant 2\) pour tout \(n\).
La suite \((v_n)\) est donc bornée par -4 et 2.
Fondamental : Propriété fondamentale des suites convergentes
Une suite qui converge est bornée.
Complément :
En effet, à partir d'un certain rang \(n_0\), tous ses termes sont dans un intervalle ouvert comme \(]\ell-1 ;\ell+1[\) donc la suite est bornée à partir de ce rang.
Pour ses \(n_0\) premiers termes (du rang 0 au rang \(n_0-1\)), comme il n'y en a qu'un nombre fini, les valeurs sont également comprises entre la plus grande et la plus petite des \(n_0\) valeurs :
En posant \(M=\text{max}(l+1,~u_0,~ u_1,~ ...,~u_{n_{0}-1})\) et \(m=\text{min}(l-1,~u_0,~ u_1,~ ...,~u_{n_{0}-1})\), alors on peut affirmer que pour tout \(n\), \(m\le u_n \le M\).
Complément : Par contraposée
On en déduit qu'une suite non bornée est divergente (on dit qu'une suite est divergente si elle n'est pas convergente).
Exemple :
La suite \(n\times (-1)^n\) est non bornée. On en déduit qu'elle diverge.