ROC : Suites croissantes
Une suite croissante convergente est majorée par sa limite
Soit \((u_n)\) une suite croissante définie sur \(\mathbb N\)
Si \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\ell\), alors la suite \(u_n\) est majorée par \(\ell\)
Question
ROC : Démontrer ce théorème
Solution
Méthode : **ROC** Démonstration à connaître
Démontrons cette propriété par l'absurde :
Supposons qu'il existe un rang \(n_0\) tel que \(u_{n_0}>\ell\).
Comme \(u_{n_0}>\ell\), l'intervalle \(]\ell-1 ;u_{n_0}[\) est un intervalle ouvert qui contient \(\ell\). Cet intervalle contient donc tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Mais on sait que la suite est croissante donc pour tout \(n \ge n_0\), \(u_n\ge u_{n_0}\).
Il est donc impossible qu'à partir d'un certain rang, toutes les valeurs de \(u_n\) soient dans l'intervalle \(]\ell-1 ;u_{n_0}[\).
Ceci prouve que l'hypothèse de départ est fausse.
La suite \(u_n\) est donc majorée par \(\ell\).
Théorème sur les suites croissantes non majorées
Si une suite est croissante et non majorée, alors elle tend vers \(+\infty\).
Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle tend vers \(-\infty\).
Question
ROC : Démontrer ce théorème
Solution
Méthode : **ROC** Démonstration à connaître
Soit \((u_n)\) une suite non majorée.
On en déduit que pour tout réel M, il existe un rang \(n_0\) tel que \(u_{n_0}>M\)
Mais comme \((u_n)\) est croissante, si \(n>n_0, u_n>u_{n_0}>M\).
On vient donc d'écrire qu'à partir du rang \(n_0\), les valeurs de \((u_n)\) sont dans l'intervalle \(]M ;+\infty[\) et ce pour n'importe quelle valeur de M.
Par définition, on peut affirmer que \((u_n)\) tend vers \(+\infty\).
L'autre partie se démontre de manière analogue.
Attention
Les réciproques de ces théorèmes sont fausses ! ! une suite peut tendre vers l'infini et ne pas être croissante pour autant.