Variations d'une suite
Définition : Sens de variation d'une suite
Une suite \((u_n)\) est dite croissante si pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}\geq u_n\).
Une suite \((u_n)\) est dite décroissante si pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}\leq u_n\).
Attention, il ne suffit pas que ces inégalités soient vérifiées pour les 1ers termes seulement !
Remarque :
On peut aussi définir la notion de suite croissante (ou décroissante) à partir d'un certain rang. Il s'agit de prouver qu'il existe un entier \(N\) tel que pour tout entier \(n \ge N\), \(u_{n+1}\ge u_n\).
Méthode : Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de \(u_{n+1} −u_n\) pour tout \(n\) :
Si pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_{n} \geq 0\) alors la suite est croissante.
Si pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_{n} \leq 0\) alors la suite est décroissante.
Exemple :
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=n^2\).
Alors \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-n^2=2n+1\)
Pour tout entier naturel \(n\), \(2n+1 \geq0\) donc \((u_n)\) est croissante.
Méthode : Propriété
Soit f une fonction définie sur\( [0 ;+\infty[\) et \((u_n)\) la suite définie par la relation explicite \(u_n=f(n)\).
Si \(f\) est croissante, alors \((u_n)\) est croissante.
Si \(f\) est décroissante, alors \((u_n)\) est décroissante.
Attention : La réciproque de cette propriété est fausse
Il est possible d'avoir \((u_n)\) croissante sans que \(f\) le soit !
Méthode : Cas particulier d'une suite à termes positifs
Si \(u_n>0\) pour tout n, on peut comparer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 :
Si pour tout \(n\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1\) et \(u_n>0\), alors \(u_{n+1}\geqslant u_n\) et la suite \((u_n)\) est croissante.
Si pour tout \(n\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant 1\) et \(u_n>0\), alors \(u_{n+1}\leqslant u_n\) et la suite \((u_n)\) est décroissante.