Question
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\(u_0=3\)
\(u_{n+1}=0,2u_n+6\)
Montrer que \((u_n)\) est majorée par 7,5.
Indice
On pourra envisager un raisonnement par récurrence.
Solution
Posons \(\mathcal P_n\) la propriété que \(u_n\leqslant 7,5\)
Initialisation
\(u_0=3\) donc inférieur à 7,5. \(\mathcal P_0\) est vraie.
Hérédité
Supposons que pour un certain rang k, \(\mathcal P_k\) soit vraie :
\(u_{k+1}=0,2u_k+6\)
Or \(u_k\leqslant 7,5\) donc \(0,2u_k+6\leqslant 0,2\times 7,5+6=7,5\)
par conséquent \(u_{k+1}\leqslant 7,5\) ce qui prouve que \(\mathcal P_{k+1}\) est vraie.
Conclusion
Par récurrence, on en déduit que pour tout n, \(u_n\leqslant 7,5\) donc \(u_n\) est majorée par 7,5.