Question

Soit \((u_n)\) la suite définie par :

  • \(u_0=3\)

  • \(u_{n+1}=0,2u_n+6\)

Montrer que \((u_n)\) est majorée par 7,5.

Indice

On pourra envisager un raisonnement par récurrence.

Solution

Posons \(\mathcal P_n\) la propriété que \(u_n\leqslant 7,5\)

  1. Initialisation

    \(u_0=3\) donc inférieur à 7,5. \(\mathcal P_0\) est vraie.

  2. Hérédité

    Supposons que pour un certain rang k, \(\mathcal P_k\) soit vraie :

    \(u_{k+1}=0,2u_k+6\)

    Or \(u_k\leqslant 7,5\) donc \(0,2u_k+6\leqslant 0,2\times 7,5+6=7,5\)

    par conséquent \(u_{k+1}\leqslant 7,5\) ce qui prouve que \(\mathcal P_{k+1}\) est vraie.

  3. Conclusion

    Par récurrence, on en déduit que pour tout n, \(u_n\leqslant 7,5\) donc \(u_n\) est majorée par 7,5.