Les suites - Partie II : Les limites

Notons \(P_n\) la proposition : \(2 \le u_n \le 3\).

Initialisation : c'est vrai car \(2\le u_0 \le 3\) puisque \(u_0=2\) donc \(P_0\) est vraie.

Hérédité : Supposons la proposition établie à un certain rang \(k\), donc que \(2\le u_k \le 3\).

Alors \(\dfrac 1 3 \le \dfrac 1 u_k \le \dfrac 1 2\) et donc \(4-\dfrac 3 2 \le 4-\dfrac 3 u_n\le 4-\dfrac 3 3\), donc \(\dfrac 5 2\le u_{k+1}\le  3\), donc \(2\le \dfrac 5 2\le u_{k+1}\le 3\). Ceci entraîne que \(P_{k+1}\) est vraie.

Par récurrence, on a donc bien montré que pour tout \(n\), \(2\le u_n\le3\).

La suite \((u_n)\) est donc bornée.

Montrons ensuite que la suite est croissante :

Il suffit de déterminer le signe de \(u_{n+1}-u_n\) pour tout \(n\) :

\(u_{n+1}-u_n=4-\dfrac 3 u_n-u_n=\dfrac{-u_n^2+4u_n-3}{u_n}\).

En étudiant les signes de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=-x²+4x-3\) (racine : 1 et 3, donc \(f(x)\ge 0 \) si \(1\le x \le 3\)), et comme \(2\le u_n\le3\), le \(-u_n^2+4u_n-3\) est positif et il en va de même pour \(\dfrac{-u_n^2+4u_n-3}{u_n}\).

Ainsi, la suite \((u_n)\) est croissante et majorée.

Elle est donc convergente.

On a :

• \(u_{n+1}\) tend vers \(\ell\),

• \(4-\dfrac{3}{u_n}\) tend vers \(4-\dfrac{3}{\ell}\)

Ainsi, \(\ell\) est une solution de l'équation \(\ell=\)\(4-\dfrac{3}{\ell}\) qui se ramène à \(\ell²-4\ell+3=0\).

Les solutions sont 1 et 3. Comme \(2\le u_n\le 3\), la limite de \((u_n)\) est 3.