Règles de calcul
Rappel : Règle sur les puissances
On se rappelle les règles sur les puissances vues au collège, en particulier que la puissance d'une somme est le produit des puissances : \(2^{3+5}=2^3\times 2^5\).
Fondamental : Exponentielle d'une somme
La fonction exponentielle prolongeant la notion de puissance, nous admettrons la propriété suivante : Une fonction exponentielle de base q transforme les sommes en produits.
Autrement dit, soit f la fonction exponentielle de base \(q>0\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=q^x\).
Alors, on a :
\(q^{x+y}=q^x\times q^y\) c'est à dire :
\(f(x+y)=f(x)\times f(y)\)
Complément : Conséquences
Pour \(q>0\) et tout réel x :
\(q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}\) car \(q^{-x}\times q^x=q^{-x+x}=q^0=1\)
\(q^x>0\) car c'est un carré : \(q^x=q^{0,5x+0,5x}=q^{0,5} \times q^{0,5}=\left(q^{0,5}\right)^2\)
De l'égalité ci-dessus, on déduit aisément que \(q^{0,5x}=\sqrt{q^x}\) et donc en particulier que \(q^{0,5}=\sqrt{q}\)
Pour tout entier relatif \(n\), \((q^x)^n=q^{nx}=(q^n)^x\) (propriété admise)
Et plus généralement, on peut écrire : \((q^x)^y=q^{xy}=(q^y)^x\) pour tous réels \(x\) et \(y\).