Exemple et calcul

Exemple

Un commercial négocie son salaire. A la base, celui-ci est de 1500€ net. Il négocie une augmentation de 12% par an mais ses frais de restauration s'élevant à 140€ par mois restent à sa charge.

On note \(u_n\) le salaire mensuel à l'année n. Identifier le type de suite auquel correspond \((u_n)\) puis calculer le salaire de cet employé après 4 années d'augmentation.

  • Nous avons \(u_0=1500\) qui correspond au salaire initial.

  • Ensuite, le salaire mensuel net d'une année est égal au salaire mensuel de l'année précédente augmenté de 12%, mais auquel on retranche 140€. Cela se traduit donc par l'égalité :

\(u_n=1,12\times u_{n-1}-140\) pour tout \(n\geq 1\)

MéthodeCalcul de u4 de proche en proche

On peut utiliser la formule de récurrence pour calculer \(u_4\). Il faut pour cela calculer les valeurs successives pour n=1, 2, 3 puis 4.

\(u_1=1,12\times 1500-140=1540\)

\(u_2=1,12\times 1540-140=1584,80\)

\(u_3=1,12\times 1584,80-140=1634,98\)

\(u_4=1,12\times 1634,98-140=1691,17\)

Son salaire net au bout de 4 années d'augmentation sera donc de 1691,17€.

MéthodeCalcul de u4 à l'aide du tableur

Le tableur se prête très bien au calcul des valeurs des suites définies par récurrence.

  • La cellule B2 contient la valeur initiale du salaire

  • La cellule C2 contient la formule =B2*1,12-140

Il suffit ensuite de tirer la formule en C2 vers la droite. On lit ainsi la valeur de \(u_4\) en F2

MéthodeCalcul de u4 à l'aide d'un programme

L'algorithme ci-contre demande à l'utilisateur de saisir la valeur de n pour laquelle il souhaite connaître \(u_n\). Le programme initialise la valeur de la suite à 1500 qui correspond à l'index 0 puis initie une boucle qui va calculer la valeur suivante de u en utilisant la formule de récurrence.

L'affichage des valeurs de \(u_n\) se fait au fur et à mesure pour connaître toutes les valeurs de la suite jusqu'au rang n. On pourrait aussi déporter cet affichage à la sortie de la boucle mais dans ce cas, seule la valeur \(u_n\) finale serait affichée.

1
n=input("Saisir la valeur de n ")
2
u=1500
3
for index in range(n+1):
4
  print "u(",index,")=",u
5
  u=1.12*u-140

Ci-dessus est donnée une implémentation Python de cet algorithme. On remarquera le n+1 passé à la commande range. En effet, range(k) renvoie la liste des k valeurs comprises entre 0 et k-1. Nous voulons que notre boucle inclue une valeur de l'index égale à n.

Et voici la sortie obtenue sur la console:

>>>

Saisir la valeur de n 4

u(0)= 1500

u(1)= 1540.0

u(2)= 1584.8

u(3)= 1634.976

u(4)= 1691.17312

On y retrouve la valeur de \(u_4\) cherchée.

A vous en exercice d'implémenter cet algorithme sur votre propre calculatrice en mode programmation.