Notation exponentielle
Soit \(f\) la fonction à valeurs dans \(\mathbb C\) qui à tout réel \(\theta\) associe \(f(\theta)=\cos \theta +i\sin \theta\).
\(f(\theta)\) a pour module 1 et pour argument \(\theta~~~(2\pi)\).
Si \(\theta'\) est un autre réel, alors le produit \(f(\theta)\times f(\theta')\)
a pour module le produit des deux modules donc 1,
a pour argument la somme des deux arguments donc \(\theta+\theta'~~~(2\pi)\).
Donc \(f(\theta)\times f(\theta')=f(\theta+\theta')\) (en effet, deux complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument).
La fonction \(f\) transforme donc les produits en sommes.
Si on dérive \(f(x)\), on obtient \(f'(x)=-\sin(x)+i\cos(x)=if(x)\)
Ces deux analogies troublantes avec la fonction exponentielle que nous avons vue au chapitre précédent justifient l'emploi de la notation suivante :
Définition : Notation exponentielle
Pour tout réel \(\theta\), on pose \(e^{i\theta}=cos\theta +i\sin\theta\)
Exemple :
\(e^{0i}=e^0=1\) et \(\cos0+i\sin0=1\), donc \(e^{i0}\) est bien égal à \(\cos0+i\sin0\).
On peut aussi écrire : \(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\)
Complément :
Cette dernière égalité, que l'on peut écrire \(e^{i\pi}+1=0\) est parmi les équations les plus célèbres des mathématiques.
Elle a l'extraordinaire particularité de lier l'analyse (avec la fonction exponentielle), la géométrie (avec \(\pi\)), l'algèbre (avec \(i\)), et l'arithmétique avec l'emploi des nombres 0 et 1, le tout dans une formule simple et élégante. Elle fait intervenir les 5 constantes les plus fondamentale des mathématiques : \(0,1, i, e, \pi\). C'est l'identité d'Euler.
Fondamental :
Tout complexe non nul \(z\) s'écrit donc \(z=re^{i\theta}\) où :
\(r =|z|\)
\(\theta=\arg(z)\)
Complément :
Sous cette forme, on retrouve aisément les propriétés des modules et des arguments vues au début de cette section :
Si \(z=re^{i\theta}\) et \(z'=r'e^{i\theta'}\) alors \(zz'=rr'e^{i\theta}e^{i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}\)
On voit que pour multiplier deux complexes, on calcule le produit des modules et la somme des arguments.
On retrouve une formule analogue avec le quotient.