Propriétés
La relation fonctionnelle sur l'exponentielle nous permet de déduire les formules suivantes :
Fondamental :
\(e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\)
\(\dfrac 1 {e^{i\theta}} = e^{-i\theta}\)
\(\dfrac {e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}= e^{i(\theta-\theta')}\)
\(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\)
Fondamental : Formule de Moivre
\(\left(e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}\)
cette formule est plus impressionnante sous sa forme trigonométrique car elle semble défier la formule du binôme de Newton
\((\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin (n\theta)\)
Puisqu'on peut exprimer l'exponentielle complexe en fonction de sin et cos on peut aussi renverser ces formules pour obtenir une écriture complexe de sin et cos
Fondamental : Formules d'Euler
\(\cos(\Theta) = \dfrac{e^{i\Theta}+ e^{-i\Theta}}2\)
\(\sin(\Theta) = \dfrac{e^{i\Theta}- e^{-i\Theta}}{2i}\)