Exercice : Applications [Formules de trigonométrie

Applications

Exprimer \(\cos(3x)\) en fonction de \(\cos x\)

On pourra utiliser la formule de Moivre

\(\cos(3x)\) est la partie réelle de \(\cos(3x)+i\sin(3x)\)

Or \(\cos(3x)+i\sin(3x) = (\cos x + i \sin x)^3 = \cos^3 x+ 3i\cos^2 x\sin x+ 3i^2\cos x \sin^2 x+ i^3\sin^3x\)

donc \((\cos x + i \sin x)^3 = \cos^3 x+ 3i\cos^2 x\sin x -3\cos x \sin^2 x- i\sin^3x\)

En prenant la partie réelle, on en déduit que

\(\cos(3x) = \cos^3 x -3\cos x \sin^2 x = \cos^3 x -3\cos x (1-\cos^2 x)\)

\(\cos(3x) = 4\cos^3 x -3\cos x\)

Linéariser une expression consiste à la transformer en somme de termes dutype \(\cos ax\) et \(\sin ax\).

Cela s'avère très utile dans le cadre de calculs de primitives.

Linéariser \(\cos^3 x\)

On pourra utiliser les formules d'Euler

\(\cos^3 x = \left(\dfrac{e^{ix}+ e^{-ix}}2 \right)^3\)

\(\cos^3 x = \dfrac 1 8 \left((e^{ix})^3 + 3(e^{ix})^2e^{-ix} + 3e^{ix}(e^{-ix})^2+(e^{-ix})^3\right)\)

\(\cos^3 x = \dfrac 1 8 \left(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}\right)\)

Or \(e^{3ix} + e^{-3ix} = 2 \cos 3x\)

\(3e^{ix} + 3e^{-ix} = 6 \cos x\)

Donc on obtient au final \(\cos^3 x = \dfrac 1 4 \left(\cos 3x+3\cos x\right)\)