Formules de trigonométrie - Forme exponentielle

\(| z_1|=\sqrt{1+3}=2\) et \(z_1=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt 3}{2}\right)\). On en déduit d'après les valeurs remarquables du cercle trigonométrique que \(\arg(z_1)=-\frac{\pi}{3}~~~(2\pi)\)

Donc \(z_1=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\)

\(| z_2|=\sqrt{4+4}=2\sqrt 2\) et \(z_2=2\sqrt 2\left(-\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\right)\). On en déduit d'après les valeurs remarquables du cercle trigonométrique que \(\arg(z_2)=\frac{3\pi}{4}~(2\pi)\).

Donc \(z_2=2\sqrt 2~ e^{i\frac{3\pi}{4}}\).

\(z_1\times z_2=(1-i\sqrt 3)(-2+2i)=-2+2\sqrt 3+i(2+2\sqrt 3)\)

\(z_1\times z_2=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\times 2\sqrt 2~ e^{i\frac{3\pi}{4}}=4\sqrt 2e^{i\frac{5\pi}{12}}\)

La forme trigonométrique de \(z_1\times z_2\) est donc \(4\sqrt 2\left(\cos \frac{5\pi}{12} + i\sin \frac{5\pi}{12}\right)\).

Par identification avec la forme algébrique, on en déduit que :

\(\cos \frac{5\pi}{12}=\frac{-2+2\sqrt 3}{4\sqrt 2}=\dfrac{(-2+2\sqrt 3)\sqrt 2}{4\times 2}=\dfrac{-2\sqrt 2+2\sqrt 6}{8}=-\dfrac{\sqrt 2}{4}+\dfrac{\sqrt 6}{4}\) et :

\(\sin \frac{5\pi}{12}=\frac{2+2\sqrt 3}{4\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{4}+\dfrac{\sqrt 6}{4}\)