Théorème de Bézout
Fondamental : Théorème de Bézout
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.
\(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\)
tels que \(au + bv = 1\).
Démonstration
Dans le sens direct, l'identité de Bézout permet d'obtenir le résultat cherché :
Si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, \(PGCD(a ;b)=1\) donc il existe \(u,v\in \mathbb Z\) tels que \(au+bv=1\)
Réciproquement, on suppose qu'il existe \(u,v\in \mathbb Z\) tels que \(au+bv=1\).
Posons \(d = PGCD(a ;b)=1\). On sait que \(d\) divise \(a\) et \(b\) donc toute combinaison linéaire de ceux-ci. En particulier, \(d\) divise \(au+bv\) donc \(d\) divise 1 et vaut donc 1. \(a\) et \(b\) sont donc premiers entre eux.
Remarque :
Nous avons déjà utilisé sans le savoir le théorème de Bézout dans l'exercice précédent pour démontrer que \(a = 3n+4\) et \(b = 2n+3\) sont premiers entre eux. Grâce au théorème de Bézout, le seul fait de remarquer que \(3b-2a=1\) suffit maintenant à conclure.