Déterminer les coefficients de Bézout
Pour déterminer les coefficients de Bézout, on calcule le PGCD des 2 nombres avec l'algorithme d'Euclide et on remonte les calculs en exprimant chaque reste en fonction des restes précédents.
Question
Calculer les coefficients de Bézout pour \(a=145\) et \(b=55\)
Solution
Phase 1 : Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide
a | b | q | r | calculs | |
|---|---|---|---|---|---|
étape 1 | 145 | 55 | 2 | 35 | \(145 = 55\times 2 + 35\) |
étape 2 | 55 | 35 | 1 | 20 | \(55 = 35\times 1 + 20\) |
étape3 | 35 | 20 | 1 | 15 | \(35 = 20\times 1 + 15\) |
étape 4 | 20 | 15 | 1 | 5 | \(20 = 15\times 1 + 5\) |
étape 5 | 15 | 5 | 3 | 0 | \(15 = 5\times 3\) |
Phase 2 : On remonte l'algorithme d'Euclide
On part de l'étape 4 (dernier reste non nul) et on remonte les étapes en isolant les différents restes obtenus.
étape 4 | étape 3 | étape 2 | étape 1 |
\(5 = 20-15\times 1\) | \(15 = 35 - 20\times 1\) | \(20 = 55-35\times 1\) | \(35 = 145-55\times 2\) |
\(5 = 20-(35 - 20\times 1)\times 1\) \(5 = -35+20\times 2\) | \(5 = -35+(55-35\times 1)\times 2\) \(5 = 55\times 2-35\times 3\) | \(5 = 55\times 2-(145-55\times 2)\times 3\) \(5 = 55\times 8-145\times 3\) |
On obtient à la fin de ces étapes \(5 = 55\times 8-145\times 3\) ce qui correspond à la relation recherchée.