Inverse modulo n
Définition :
On dit qu'un entier relatif admet un inverse modulo \(n\) (\(n\in\mathbb N, n\geqslant 2\)) lorsqu'il existe un entier relatif \(b\) tel que \(ab\equiv 1[n]\). On dit aussi que \(a\) est inversible modulo \(n\).
Remarque :
\(a\) est inversible modulo \(n\) revient aussi à dire que \(a\) et \(n\) sont premiers entre eux.
Exemple :
17 est inversible modulo 26. En effet, \(17\times(-3)+26\times 2 = 1\). Si on réécrit cette égalité modulo 26, on a bien \(17\times (-3) \equiv 1[26]\)
Méthode : Résoudre une équation dans Z
Pour résoudre l'équation \(17x\equiv 15[26]\) on peut utiliser l'inverse de 17 modulo 26 :
Multiplions par -3 la congruence précédente, sachant que -3 est l'inverse de 17 modulo 26. On obtient
\(-3\times17x \equiv -3\times 15[26]\) c'est à dire \(x\equiv -45 \equiv 7[26]\)
En d'autres termes, les solutions de l'équation sont les nombres \(x=7+26k\) avec \(k \in \mathbb Z\)