On reconnaît une égalité remarquable
La deuxième méthode pour factoriser est d'utiliser une identité remarquable :
Fondamental : Les égalités remarquables
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
Les égalités remarquables rappelées ci-dessus permettent de passer d'une forme développée (membre de gauche de l'égalité) à une forme factorisée (membre de droite). La difficulté est de les mettre en évidence.
La 3ème égalité est celle que l'on utilise le plus souvent car c'est la plus facile à reconnaître. Elle apparaît sous la forme d'une différence de deux carrés.
Exemple : 3ème égalité remarquable
\(A=(x+2)^2-9\)
\(A=(x+2)^2-3^2\)
\(A=\left[(x+2)-3\right]\left[(x+2)+3\right]\)
\(A=(x-1)(x+5)\) L'expression est factorisée
\(B=4x^2-3\)
\(B=(2x)^2-\sqrt{3}^2\)
\(B=\left[(2x)-\sqrt{3}\right]\left[(2x)+\sqrt{3}\right]\)
\(B=(2x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})\) L'expression est factorisée
Les égalités 1 et 2 sont plus difficiles à reconnaître. Elles demandent un peu d'entraînement. Il faut se focaliser sur ce qui pourrait être les deux carrés et vérifier que le double produit ainsi généré est compatible avec l'expression de départ.
Exemple : 1ère égalité remarquable
\(C=x^2+6x+9\)
On repère qu'on doit certainement utiliser la 1ère identité remarquable, et donc qu'on doit trouver une expression de la forme :
\((...+...)²\). Il faut donc trouver par quoi remplacer les points de suspension : certainement \(x\) et 3 pour obtenir \(x²\) et 9 :
On doit donc avoir \(C=(x+3)²\). Il faut maintenant vérifier qu'en développant, le double-produit \(2ab\) donne bien \(6x\) :
\(2\times x\times 3=6x\)
Donc, on a bien : \(C=(x+3)^2\)
Exemple : 2ème égalité remarquable
\(D=4x^2-24x+36\)
On repère qu'on doit certainement utiliser la 2ème identité remarquable, et donc qu'on doit trouver une expression de la forme :
\((...-...)²\).
Il faut donc trouver par quoi remplacer les points de suspension : certainement \(2x\) et 6 pour obtenir \(4x²\) et 36 :
On doit donc avoir \(C=(2x-6)²\). Il faut maintenant vérifier qu'en développant, le double-produit \(2ab\) donne bien \(24x\) :
\(2\times 2x\times 6=2\times 2\times 6\times x=24x\)
Donc, on a bien : \(D=(2x-6)^2\)
Conseil :
Pour bien réussir ces calculs, il est nécessaire d'être bien entraîné au calcul mental. Évitez de prendre la calculatrice pour des calculs sur des nombres "faciles".
Donc, un conseil, révisez vos tables... et vos identités évidemment (dans les deux sens : de gauche à droite, et de droite à gauche pour développer et factoriser).