Suite de Fibonacci
Un peu d'histoire(s) !
La suite de Fibonacci est une suite d'entiers très connue. Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci, dit Leonardo Pisano, un mathématicien italien du XIIIème siècle qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages de 1202, le Liber Abaci, décrit la croissance d'une population de lapins :
Un homme met un couple de jeunes lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
Cf ici
Question
Exprimer par une suite le nombre de lapins à l'année \(n\).
Indice
Notons \(u_n\) le nombre de couples de lapins au début du mois n. Jusqu'à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu'on note : \(u_1=u_2=1\)).
Plaçons-nous maintenant au mois \(n\) et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard (\(n + 2\)) :
\(u_{n+2}\) désigne la somme des couples de lapins au mois \(n + 1\) et des couples nouvellement engendrés. Or, n'engendrent au mois \(n + 2\) que les couples pubères, c'est-à-dire ceux qui existent deux mois auparavant.
Solution
La formule de récurrence
\(u_1=1\)
\(u_2=1\)
\(u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\)
On obtient ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents.
Question
Calculez les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci définie par la récurrence suivante :
\(u_1=1\)
\(u_2=1\)
\(u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\)
Solution
\(u_1\) | \(u_2\) | \(u_3\) | \(u_4\) | \(u_5\) | \(u_6\) | \(u_7\) | \(u_8\) | \(u_9\) | \(u_{10}\) |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Dans la nature
Dans les fleurs de tournesol, les graines sont réparties en spirales. Il y en a 21 dans le sens des aiguilles d'une montre et 34 dans le sens contraire. 21 et 34 sont deux nombres de Fibonacci consécutifs.
Étrangement, ce phénomène se retrouve assez souvent dans la nature : pomme de pin, ananas, cactus, certains coquillages... présentent tous différentes valeurs de cette suite.
Le nombre d'or et la suite de Fibonacci dans la nature :