Suite définie par récurrence
Parfois, on ne dispose pas de formule directe permettant de calculer \(u_n\) en fonction de \(n\), mais d'une formule permettant de calculer \(u_n\) en fonction des termes précédents. On calcule ainsi \(u_n\) en calculant systématiquement tous les termes de la suite de proche en proche à l'aide de la formule donnée.
Exemple :
Soit la suite définie par la relation :
\(u_0=2\)
\(u_{n+1}=2\times u_n-3n\)
La formule permet de dire que :
\(u_1=2\times u_0-3\times 0=2\times 2-3\times 0=4\)
\(u_2=2\times u_1-3\times 1=2\times 4-3=5\)
\(u_3=...\)
Définition :
On dit dans ce cas que la suite \((u_n)\) est définie par une relation de récurrence.
Fondamental : Initialisation de la récurrence
Dans le cas de suites définies par récurrence, on a absolument besoin de connaître le (ou les) premier(s) terme(s) de la suite afin de pouvoir appliquer la formule de récurrence.
En effet, la seule formule \(u_{n+1}=2\times u_n-3n\) ne permet pas de calculer \(u_1\) et encore moins les termes suivants.