Dans un tétraèdre

On considère un tétraèdre ABCD.

On appelle I,J,K et L les points définis respectivement par :

\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{CK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}\) ; \(\overrightarrow{DL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DA}\)

Question

Placer les points I,J,K et L sur une figure.

Solution

Question

Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\), puis en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).

Indice

On pourra remarquer que \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}\)

Solution

\(\overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}\)

Donc \(\overrightarrow{IJ}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)

En factorisant et en utilisant la relation de Chasles, on peut simplifier l'écriture de \(\overrightarrow{AI} \):

\(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

Question

Justifier que les points I,J,K et L sont coplanaires et que la droite (AC) est parallèle au plan (IJKL).

Indice

On pourra exprimer \(\overrightarrow{LK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).

Solution

\(\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CK}\)

Donc \(\overrightarrow{LK}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})\)

Donc \(\overrightarrow{LK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

En utilisant la question précédente, on en déduit que \(\overrightarrow{LK}=\overrightarrow{IJ}\) ce qui démontre que IJKL est un parallélogramme et donc que ces 4 points sont coplanaires.

On a vu que \(\overrightarrow{LK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) donc \((LK)//(AC)\).

La droite (AC) est parallèle à une droite du plan (IJKL) donc on peut affirmer que (AC) est parallèle au plan (IJKL).

Question

Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJKL).

Solution

On raisonne de manière identique aux questions précédentes en montrant que \(\overrightarrow{JK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BD}\)

De là découle que \((JK)//(BD)\) et donc que (BD) est parallèle au plan (IJKL).