Définition
Définition : Indépendance de deux événements
Soit P une probabilité sur un univers \(\Omega\).
On dit que les événements A et B sont indépendants si :
\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
Attention : Ne pas confondre indépendants et incompatibles
Deux événements sont incompatibles si \(A\cap B=\emptyset\).
Deux événements A et B (\(P(A) \neq 0\) et \(P(B) \neq 0\)) incompatibles ne sont pas indépendants.
Fondamental :
Si \(P(A)\neq 0\), alors A et B sont indépendants si et seulement si \(P_A(B)=P(B)\).
De même, si \(P(B)\neq 0\), alors A et B sont indépendants si et seulement si \(P_B(A)=P(A)\)
Complément : Démonstration
On suppose que \(P(A)\neq 0\). A et B sont indépendants revient à dire que \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
Dans ce cas, \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(A)\times P(B)}{P(A)}=P(B)\). CQFD
Exemple :
Pour le lancer d'un dé équilibré à 6 faces, on considère les événements suivants
A :
« le résultat est pair »
B :
« le résultat est 2 »
Intuitivement, on voit bien que A et B ne sont pas indépendants. De fait, \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}\) et \(P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}\).
Si on considère à présent l'événement C : « le résultat est supérieur ou égal à 5 »
, alors A et C sont indépendants.
En effet \(P(C)=\dfrac{1}{3}\) donc \(P(A)\times P(C)=\dfrac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\),
et \(P(A\cap C)=\dfrac{1}{6}\) car seul 6 est pair et supérieur ou égal à 5. Donc \(P(A\cap C)=P(A)\times P(C)\).