Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :
R :
« il n'entend pas son réveil sonner »
S :
« son scooter, mal entretenu, tombe en panne »
Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de l'événement R est 0,1 et que celle de l'événement S est 0,05.
Lorsque au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard, sinon, il est à l'heure.
Question
Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.
Solution
Il faut calculer \(P(\overline R\cap S)\).
Or les événements \(R\) et \(S\) étant indépendants, on en déduit que les événements \(\overline R\) et \(S\) le sont aussi d'après le résultat vu précédemment.
Donc \(P(\overline R\cap S)=P(\overline R)\times P(S)=0,9\times 0,05=0,045\)
La probabilité que Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne est de 0,045.
Question
Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe
Solution
Stéphane sera a l'heure si aucun des événements S et R ne se produit. On doit donc calculer \(P(\overline R\cap \overline S)\).
Or \(\overline R\) et \(S\) sont indépendants donc \(\overline R\) et \(\overline S\) le sont également.
\(P(\overline R\cap \overline S)=P(\overline R)\times P(\overline S)=0,9\times 0,95=0,855\)
La probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe est de 0,855
Question
Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois en classe. On admet que le fait d'arriver éventuellement en retard un jour de classe n'influe pas sur le fait d'arriver à l'heure les jours suivants.
La vie scolaire colle les élèves présentant plus d'un retard par semaine. Quelle est la probabilité pour une semaine prise au hasard, que Stéphane soit collé ?
Indice
On se remémorera le chapitre sur la loi binomiale
Solution
Chaque retard se produisant de manière indépendante, on est dans le cadre d'un schéma de Bernoulli où on peut supposer que le succès est d'arriver à l'heure. \(P(S) =0,855\) d'après la question précédente.
La variable aléatoire qui compte le nombre de retards pour une semaine suit donc une loi binomiale de paramètres \(\mathcal B(5 ;0,855)\)
La probabilité d'être collé est donc \(P(X\leqslant 3)=1-(P(X=5)-P(X=4))\). On calcule
\(P(X=5)=0,855^5\approx 0,457\)
\(P(X=4)={{5} \choose {4}} \times 0,855^4\times (1-0,855)^1=5\times 0,855^4\times 0,145\approx 0,387\)
Donc \(P(X\leqslant 3)=0,156\)
Ce résultat pouvait être obtenu directement à la calculatrice à l'aide de la fonction BinomCdf. La capture ci-contre montre le fonctionnement de la fonction sur TI et Casio.
