Continuité des fonctions usuelles
En règle générale, toutes les fonctions que vous avez rencontrées jusqu'alors sont des fonctions continues. Cela découle des deux propriétés suivantes, que nous admettrons :
Fondamental : Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions usuelles, à savoir :
Les fonctions polynômes (sommes de puissances de \(x\)),
les fonctions rationnelles (quotients de polynômes), notamment la fonction inverse,
la fonction racine carrée,
les fonctions exponentielles,
les fonctions trigonométriques que nous verrons ultérieurement,
ainsi que les fonctions composées de ces fonctions usuelles sont des fonctions continues sur tout intervalle sur lequel elles sont définies.
Fondamental : Continuité des fonctions dérivables
Toute fonction dérivable sur un intervalle \(I\) est continue sur \(I\).
Attention : Problème de dérivabilité des fonctions continues.
La réciproque de cette propriété est fausse !
En effet, la fonction \(x\longmapsto\sqrt{x}\) est définie et continue sur \([0 ;+\infty[\) mais n'est dérivable que sur \(]0 ;+\infty[\).
Complément :
En effet :
\(\lim\limits_{\substack {x \to 0\\ x>0}} ~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\lim\limits_{\substack {x \to 0\\ x>0}} ~\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{\substack {x \to 0\\ x>0}} ~\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}=\lim\limits_{\substack {x \to 0\\ x>0}} ~\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty\) donc cette fonction n'est pas dérivable en 0