Activité d'approche
Un opérateur en téléphonie par satellite propose un forfait de communication Internet selon la formule suivante :
Si la quantité de données utilisée dans le mois est inférieure à 100 Mo, le client paiera un abonnement de 10€ plus 0,2€ par Mo consommé.
SI la quantité de données utilisée dans le mois est comprise entre 100Mo et 200 Mo, le client paiera un abonnement de 15€ plus 0,15€ par Mo consommé.
Si la quantité de données dépasse 200Mo, le client paiera un abonnement de 40€ plus 0,10€ par Mo consommé.
Question
Modéliser cette situation à l'aide d'une fonction donnant le prix à payer en fonction de la quantité de données consommée.
Indice
On pourra écrire la fonction \(f\) en fonction des intervalles dans lesquels se situe la quantité de données \(x\) consommée.
Solution
si \(0 < x \leqslant 100, ~ ~ f(x)=0,2~x+10\)
si \(100 < x \leqslant 200, ~ ~ f(x)=0,15~x+15\)
si \(x > 200, ~ ~ f(x)=0,1~x+40\)
Question
Que se passe t-il pour un client consommant chaque mois autour de 100 Mo ?
Solution
Exemple : Le client consomme un peu moins de 100 Mo
Par exemple pour \(x=99,9\), le client paiera \(0,2\times 99,9+10 = 29,98\)€
Exemple : Le client consomme un peu plus de 100 Mo
Par exemple pour \(x=100,1\), le client paiera \(0,15\times 100,1+15 = 30,015\)€
Pour \( x=100,~ ~f(100)=0,2\times 100+10=30\). On utilise ici la première formule.
Regardons ce qui se passe lorsque x s'approche de 100 par valeur inférieure. Faisons appel aux limites vues au chapitre précédent :
\(\lim\limits_{\substack {x \to 100\\ x<100}} ~f(x) = 0,2 \times 100 +10=30\)
Regardons ce qui se passe lorsque x s'approche de 100 par valeur supérieure :
\(\lim\limits_{\substack {x \to 100\\ x>100}} ~f(x) = 0,15 \times 100 +15=30\)
Fondamental : Conclusion pour x=100
On remarque donc ici que \(f(100)=\lim\limits_{\substack {x \to 100\\ x<100}} ~f(x) = \lim\limits_{\substack {x \to 100\\ x>100}} ~f(x)\)
On dit que la fonction \(f\) est continue en \(x=100\).
Question
Que se passe t-il pour un client consommant chaque mois autour de 200 Mo ? Quel conseil lui donneriez-vous ?
Solution
Exemple : Le client consomme un peu moins de 200 Mo
Par exemple pour \(x=199,9\), le client paiera \(0,15\times 199,9+15 = 44,985\)€
Exemple : Le client consomme un peu plus de 200 Mo
Par exemple pour \(x=200,1\), le client paiera \(0,1\times 200,1+40 = 60,01\)€
Il semble qu'il y ait ici quelque chose d'étrange en défaveur du client qui consommerait un peu plus. Regardons cela d'un point de vue mathématique :
Pour \( x=200,~ ~f(200)=0,15\times 200+15=45\). On utilise ici la seconde formule. du fait de l'inégalité large.
Regardons ce qui se passe lorsque x s'approche de 200 par valeur inférieure :
\(\lim\limits_{\substack {x \to 200\\ x<200}} ~f(x) = 0,15 \times 200 +15=45\)
Regardons ce qui se passe lorsque x s'approche de 200 par valeur supérieure :
\(\lim\limits_{\substack {x \to 200\\ x>200}} ~f(x) = 0,1 \times 200 +40=60\)
Fondamental : Conclusion pour x=200
On remarque donc ici que \(f(200)=\lim\limits_{\substack {x \to 200\\ x<200}} ~f(x) \neq \lim\limits_{\substack {x \to 200\\ x>200}} ~f(x)\)
On dit que la fonction \(f\) est discontinue en \(x=200\).
Complément :
On peut donc conseiller au consommateur consommant autour de 200Mo de rester toujours en dessous de ce seuil sous peine de payer un surcoût démesuré par rapport au léger surcroît de consommation.
Question
Comment qualifiez-vous le choix tarifaire de l'opérateur ? Que proposeriez-vous comme modification ?
Indice
Regarder ce qui se passe pour une quantité de donnée autour de 200Mo.
Indice
Modifier le coût de l'abonnement pour éviter le saut tarifaire constaté.
Solution
Le choix tarifaire de l'opérateur est assez étrange. Il peut s'expliquer par une volonté de forcer l'utilisateur à rester en dessous du seuil de 200Mo.
Pour obtenir une tarification plus logique et éviter le saut tarifaire autour de 200Mo, il faudrait ajuster le coût de l'abonnement par exemple. En le diminuant de 15€, on ramènerait le prix de 60€ avec la 2ème formule à 45€ qui est le prix obtenu avec la 1ere formule.
On peut donc proposer que si \(x>200, ~ ~f(x)=0,1x+25\)
On aurait alors \(\lim\limits_{\substack {x \to 200\\ x>200}} ~f(x) = 0,1 \times 200 +25=45 = f(200) = \lim\limits_{\substack {x \to 200\\ x<200}} ~f(x)\)
Dans cette situation, la fonction \(f\) serait continue en \(x=200\).
Et puisqu'il s'agit sur chaque intervalle d'une fonction affine, elle serait continue pour toute valeur de \(x\in\mathbb R^+\).