Les suites - Partie II : Les limites

si \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \epsilon}\right)+1\), alors \(n>\frac{1}{\sqrt \epsilon}\) et donc \(n^2>\frac{1}{\epsilon}\)

Par passage à l'inverse, puisque la fonction \(x\longmapsto \frac{1}{x}\) est strictement décroissante, on en déduit que \(\frac{1}{n^2}<\epsilon\)

Mais on sait aussi que \(\frac{1}{n^2}>0\) et \(-\epsilon <0\) donc \(-\epsilon<\frac{1}{n^2}<\epsilon\)

en ajoutant 1 à cette inégalité, on en déduit que si \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \epsilon}\right)+1\), alors \(1-\epsilon<1+\frac{1}{n^2}<1+\epsilon\), ce qui revient à dire que \(u_n\in I_\epsilon\)

On vient de démontrer qu'un intervalle ouvert centré en 1 de type \(]1-\epsilon ;1+\epsilon[\) contient tous les termes de la suite (u_n) à partir d'un rang \(n\geqslant \mathbb E \left(\frac{1}{\sqrt \epsilon}\right)+1\).

C'est exactement la définition d'une suite convergente de limite 1.