Limite d'une suite du type u(n+1)=f(un)
On considère la fonction \(f :x\longmapsto \frac{3}{x+1}\)
On définit la suite \((u_n)\) par :
\(u_0=2\)
\(u_{n+1}=f(u_n)\)
Question
Tracer sur un même graphique :
la droite d'équation \(y=x\),
la courbe \(\mathcal C_f\) représentative de la fonction f.
Utiliser ces éléments pour :
déterminer graphiquement les 5 premiers termes de la suite \((u_n)\),
conjecturer la limite de la suite \((u_n)\).
Solution
Simulation :
Partant de \(u_k\) on utilise la courbe \(\mathcal C_f\) pour déterminer \(u_{k+1}=f(u_k)\) puis la droite \(y=x\) pour reporter \(u_{k+1}\) sur l'axe des abscisses et réitérer la procédure.
D'après la simulation, on peut émettre la conjecture que la suite \((u_n)\) converge et que sa limite est 1,3.
Remarque :
En déplaçant le curseur, on s'aperçoit sur cet exemple que la convergence ne semble pas dépendre du premier terme de la suite. Il n'en est pas toujours de même. Cela va dépendre de la forme de la courbe \(\mathcal C_f\).