Loi normale
Définition :
Dire qu'une variable aléatoire continue \(X\) suit une loi normale d'espérance \(\mu\) et d'écart type \(\sigma\) signifie que la variable aléatoire continue \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite.
On note alors \(X\hookrightarrow \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\).
Fondamental : Espérance et écart-type
Si une v.a. \(X\) suit une loi normale \( \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\), alors l'espérance de \(X\) vaut \(E(X)=\mu\) et sa variance vaut \(V(x)=\sigma²\) et son écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{\sigma²}\).
Attention :
Lorsqu'on écrit qu'une v.a \(X\) suit une loi normale \(\mathcal N(40 ;5)\), cela signifie que la valeur moyenne (espérance) de \(X\) vaut \(E(X)=40\) et 5 désigne sa variance, donc \(\sigma(X)=\sqrt{5}\).
Méthode : Utilisation de la calculatrice pour calculer P(a<X<b)
Pour casio et TI cf ici [PDF]
Exemple : Poids à la naissance
La masse en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire qui peut être modélisée par une loi normale de moyenne μ = 3,3 et d'écart-type σ = 0,5. Calculer la probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance.
Résolution :
méthode 1 :
La probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance est donc : \(P(X< 2,5)\).
La variable \(Z=\frac{X-3,3}{0.5}\) suit la loi normale centrée réduite : \(Z\hookrightarrow \mathcal N(0 ;1)\)
On a alors \(P(X<2,5)=P(X-3,3<2,5-3,3)=P\left(\frac{X-3,3}{0,5}<\frac{2,5-3,3}{0,5}\right)\)
Ce qui donne \(P(X<2,5)=P(Z<-1,6)\).
On peut calculer cette valeur de deux façons :
\(P(Z<-1,6)=\frac{1-P\left(-1,6<Z<1,6\right)}{2}\) :
En utilisant l'astuce consistant à remplacer \(-\infty\) par -10^99 avec la calculatrice.
La probabilité cherchée est donc égale à 0,055 à \(10^{-3}-\) près.
méthode 2 :
La calculatrice permet aussi directement de calculer \(P(X<2,5)\) !
Simulation : Influence des paramètres et intervalles "un, deux et trois sigma"
De manière analogue à la loi normale centrée réduite, on constate que :
\(P\left(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma\right)\approx 0,68\)
\(P\left(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma\right)\approx 0,956\)
\(P\left(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma\right)\approx 0,997\)
Remarque :
Par conséquent, cela signifie que la probabilité d'avoir une valeur de \(X\) distante de plus de \(3\sigma\) de l'espérance \(\mu\) est pratiquement nulle.