Loi normale

Définition

Dire qu'une variable aléatoire continue \(X\) suit une loi normale d'espérance \(\mu\) et d'écart type \(\sigma\) signifie que la variable aléatoire continue \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite.

On note alors \(X\hookrightarrow \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\).

FondamentalEspérance et écart-type

Si une v.a. \(X\) suit une loi normale \( \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\), alors l'espérance de \(X\) vaut \(E(X)=\mu\) et sa variance vaut \(V(x)=\sigma²\) et son écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{\sigma²}\).

Attention

Lorsqu'on écrit qu'une v.a \(X\) suit une loi normale \(\mathcal N(40 ;5)\), cela signifie que la valeur moyenne (espérance) de \(X\) vaut \(E(X)=40\) et 5 désigne sa variance, donc \(\sigma(X)=\sqrt{5}\).

MéthodeUtilisation de la calculatrice pour calculer P(a<X<b)

Pour casio et TI cf ici [PDF]

ExemplePoids à la naissance

La masse en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire qui peut être modélisée par une loi normale de moyenne μ = 3,3 et d'écart-type σ = 0,5. Calculer la probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance.

Résolution :

méthode 1 :

La probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance est donc : \(P(X< 2,5)\).

La variable \(Z=\frac{X-3,3}{0.5}\) suit la loi normale centrée réduite : \(Z\hookrightarrow \mathcal N(0 ;1)\)

On a alors \(P(X<2,5)=P(X-3,3<2,5-3,3)=P\left(\frac{X-3,3}{0,5}<\frac{2,5-3,3}{0,5}\right)\)

Ce qui donne \(P(X<2,5)=P(Z<-1,6)\).

On peut calculer cette valeur de deux façons :

  1. \(P(Z<-1,6)=\frac{1-P\left(-1,6<Z<1,6\right)}{2}\) :

  2. En utilisant l'astuce consistant à remplacer \(-\infty\) par -10^99 avec la calculatrice.

La probabilité cherchée est donc égale à 0,055 à \(10^{-3}-\) près.

méthode 2 :

La calculatrice permet aussi directement de calculer \(P(X<2,5)\) !

SimulationInfluence des paramètres et intervalles "un, deux et trois sigma"

De manière analogue à la loi normale centrée réduite, on constate que :

  • \(P\left(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma\right)\approx 0,68\)

  • \(P\left(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma\right)\approx 0,956\)

  • \(P\left(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma\right)\approx 0,997\)

Remarque

Par conséquent, cela signifie que la probabilité d'avoir une valeur de \(X\) distante de plus de \(3\sigma\) de l'espérance \(\mu\) est pratiquement nulle.