Stabilité de U

Nous allons démontrer que \(\mathbb U\) est stable par produit et passage à l'inverse

Question

Soit \(z_1, z_2 \in \mathbb U\). Montrer que \(z_1\times z_2 \in \mathbb U\)

Solution

On sait que

\(|z_1| = |z_2| = 1\)

donc \(|z_1 \times z_2 | = |z_1||z_2| = 1\) ce qui signifie que \(z_1\times z_2 \in \mathbb U\)

Question

Soit \(z \in \mathbb U\). Montrer que \(\dfrac {1}{z} \in \mathbb U\)

Solution

On sait que

\(|z| = 1\)

puisque \(z\) a pour module 1, on est assuré que ce dernier est non nul.

donc \(\left|\dfrac {1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = 1\) ce qui signifie que \(\dfrac {1}{z} \in \mathbb U\)