\(n\) désigne un entier naturel.
Question
Démontrer que \(a = 3n+4\) et \(b = 2n+3\) sont premiers entre eux.
Indice
On pourra remarquer que \(3b-2a=1\)
Solution
Soit \(d\) un diviseur commun à \(a\) et \(b\).
\(d\) divise \(a\) et \(b\) donc il divise toute combinaison linéaire de \(a\) et \(b\), comme \(3b-2a\).
donc \(d\) divise \(1\) donc \(d=1\)
Ainsi pour montrer que 2 nombres sont premiers entre eux, il suffit de trouver une combinaison linéaire de ces 2 nombres égale à 1.
Cela nous permet d'introduire le second résultat fondamental de ce chapitre : le théorème de Bézout.