Le paradoxe du Grand Duc de Toscane
Contexte historique
Galilée (1554-1642) est surtout connu pour ses travaux en astronomie, faisant suite à son invention de la lunette astronomique. Cependant, il rédigea vers 1620 un petit mémoire sur les jeux de dés pour répondre à une demande du Duc de Toscane (Galilée est alors Premier Mathématicien de l'Université de Pise et Premier Philosophe du Grand Duc à Florence). Galilée est ainsi l'un des premiers avec Cardan à avoir écrit sur le "calcul des hasards", mais leurs écrits n'ont été publiés qu'après la célèbre correspondance entre Pascal et Fermat qui marque "officiellement" le début de la théorie des probabilités. Le mémoire de Galilée qui nous intéresse n'a été édité qu'en 1718.
Présentation du paradoxe
A la cour de Florence, de nombreux jeux de société étaient alors pratiqués. Parmi ceux-ci, l'un faisait intervenir la somme des numéros sortis lors du lancer de trois dés. Le Duc de Toscane, qui avait sans doute observé un grand nombre de parties de ce jeu, avait constaté que la somme 10 était obtenue légèrement plus souvent que la somme 9. Le paradoxe, que le Duc avait exposé à Galilée, réside dans le fait qu'il y a autant de façons d'écrire 10 que 9 comme sommes de trois entiers compris entre 1 et 6 :
10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 (6 possibilités)
9 = 6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 (6 possibilités)
Question
Simulation.
On considère l'algorithme suivant :
ENTREE
Saisir N
L prend la valeur 0
M prend la valeur 0
TRAITEMENT
Pour i allant de 1 a N Faire
S prend la valeur 0
Pour d allant de 1 a 3 Faire
S prend la valeur S+RandInt(1,6)
FinPour
Si S=9
Alors L prend la valeur L+1
FinSi
Si S=10
Alors M prend la valeur M+1
FinSi
FinPour
SORTIE
Afficher L et M
Quel est l'objectif de cet algorithme ?
Quelles sont les variables qui interviennent ? Quel est leur rôle ?
Programmer cet algorithme sur la calculatrice et réaliser une simulation pour 100 parties. Qu'obtenez-vous ?
Confirmez vous le paradoxe observé par le Duc de Toscane ?
Solution
Programme TI
Solution
Programme Casio
Solution
Programme Python
La simulation sous Python donne les résultats suivants pour 1 000 000 de lancers :
somme = 9 : 115410 soit 11.541 %
somme = 10 : 125040 soit 12.504 %
Question
Comment expliquez-vous ce paradoxe ?
Quelle est en réalité la probabilité d'obtenir 9 et 10 ?
L'observation du Duc et la simulation sont-elles confirmées par le calcul ?
Indice
L'univers considéré par le duc suit-il une loi d'équiprobabilité ?
Solution
L'univers considéré par le duc n'est pas équiprobable !
En effet l'issue 6 + 2 + 1 n'a pas la même probabilité que l'issue 3+3+3 donc ne peuvent pas compter autant : Il y a
une manière d'obtenir 3+3+3
6 façons d'obtenir 6+2+1
3 façons d'obtenir 4+4+1
L'univers comporte \(6\times 6\times 6=216\) issues au total
Méthode : P(S=9)
La somme 9 peut s'écrire \(6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3\) mais chaque somme donne lieu à plusieurs écritures :
Vu ce que l'on a constaté ci dessus, il y a en tout \(6+6+3+3+6+1=25\) manières différentes d'écrire cette somme.
La probabilité d'obtenir 9 est donc \(\dfrac{25}{216}\approx 0,1157\)
Méthode : P(S=10)
La somme 10 peut s'écrire \(6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3\) mais chaque somme donne lieu à plusieurs écritures :
Vu ce que l'on a constaté ci dessus, il y a en tout \(6+3+6+6+3+3=27\) manières différentes d'écrire cette somme.
La probabilité d'obtenir 10 est donc \(\dfrac{27}{216}=0,125\)
Simulation :
Ces probabilités sont bien confirmées par l'expérience puisque la simulation Python nous donne
pour 1 000 000 de lancers :
somme = 9 : 115410 soit 11.541 %
somme = 10 : 125040 soit 12.504 %