Autour de la notion d'équiprobabilité
On lance deux fois un dé à 6 faces bien équilibré et on s'intéresse à la somme des deux dés.
Dans cet exercice nous allons voir deux manières de calculer une probabilité de l'événement « La somme des deux dés est 7 »
en fonction de l'univers choisi.
Premier point de vue
On choisit comme univers l'ensemble de tous les couples
Ω={ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; ... ; (1,6) ... ; (2,1) ; ... ; (2,6) ; ... (6,1) ; ... ; (6,6)}
soit 36 éléments au total.
L'événement A : « La somme des deux dés est 7 »
s'écrit A ={(1,6) ;(2,5) ;(3 ;4) ;(4,3) ;(5,2) ;(6,1)}
il y a donc 6 issues réalisant l'événement A.
La probabilité de A est donc \(\mathbb P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)
Second point de vue
On choisit comme univers l'ensemble de tous les résultats possibles donc ici
Ω={2,3,4,5,6,7 8,9,10,11,12}
soit 11 éléments au total.
L'événement A : « La somme des deux dés est 7 »
s'écrit cette fois ci comme l'événement élémentaire A={7}
La probabilité de A est donc ici \(\mathbb P(A)=\dfrac{1}{11}\neq \dfrac{1}{6}\)
Question
Les deux méthodes exposées ci-dessus ne donnent pas le même résultat ! ! !
Expliquer ou se trouve l'erreur est quelle est la bonne méthode pour calculer la probabilité de l'événement A
Solution
Analyse de la première méthode.
Dans la première méthode, lorsque l'on écrit
Ω={ (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; ... ; (1,6) ... ; (2,1) ; ... ; (2,6) ; ... (6,1) ; ... ; (6,6)}
alors toutes les issues de cet univers sont équiprobables. Nous sommes donc en situation d'équiprobabilité.
La formule \(\mathbb P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\) peut s'appliquer et nous donne un résultat correct.
Analyse de la seconde méthode
Par contre, dans la seconde méthode, lorsque l'on écrit
Ω={2,3,4,5,6,7 8,9,10,11,12}
les issues de notre univers ne sont pas équiprobables !
En effet, il n'y a qu'une seule manière d'obtenir 2 alors qu'il y a 6 manières d'obtenir 7 !
Notre loi n'est donc pas ici équiprobable, il est interdit d'utiliser la formule
\(\mathbb P(A) =\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}\)
dans ce contexte ! Cela provoque donc l'erreur constatée.
Attention : Moralité
Pensez à bien vérifier si les issues de l'univers sont équiprobables avant d'utiliser la formule
\(\mathbb P(A) =\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}\)
La notion d'équiprobabilité peut parfois être délicate à percevoir.
Il est doc important de bien choisir son univers au départ pour obtenir les calculs les plus simples possibles.