Arche d'un pont
L'arche d'un pont a la forme d'une parabole s'appuyant sur deux points au sol distants de 160 mètres. Le sommet de la parabole est à une hauteur de 80 mètres.
Question
Déterminer la hauteur de l'arche à 16 mètres du bord.
Indice
On pourra penser à la forme canonique
Indice
On pourra imaginer un repère dont l'origine est au sol sur la pile gauche du pont
Solution
Modélisation par une fonction
L'arche du pont à une forme parabolique. Soit f la fonction du second degré dont la courbe épouse la forme de l'arche. Si l'origine est au sol sous la pile gauche du pont et que l'unité est le mètre, on a
\(f(0) = 0\)
\(f(160)=0\)
\(f(80)=80\)
Le sommet de la parabole à pour coordonnées \(S(80 ; 80)\)
Pour réponde à la question, nous devons déterminer \(f(16)\). Pour cela, il nous faut connaître f.
Méthode : Utilisation de la forme canonique
Pour déterminer f, nous allons utiliser la forme canonique : en effet, la connaissance du sommet nous donne déjà beaucoup d'informations sur f :
On sait que le sommet a pour coordonnées \(S(80 ; 80)\) donc \(f(x)=a(x-80)^2+80\)
Déterminons a grâce aux valeurs de f que nous connaissons.
\(f(0)=0\) donc \(a(-80)^2+80=0\). On en déduit \(a=\dfrac{-1}{80}\)
On vérifie que\( f(160)=\dfrac{-1}{80}\times 80^2+80=0\)
Donc \(f(x)=\dfrac{-1}{80}(x-80)^2+80\)
On peut maintenant calculer \(f(16)=\dfrac{-1}{80}(16-80)^2+80=28,8\)
Conclusion
La hauteur de l'arche à 16 mètres du bord est de 28,8 mètres