Aire maximale à périmètre constant
A l'aide de 75 mètres de grillage, un fermier veut réaliser un enclos rectangulaire d'aire maximum dans une vaste prairie.
Question
Comment doit-il s'y prendre ?
Indice
On pourra poser x la longueur de l'enclos
Indice
Exprimer en fonction de x la largeur puis l'aire de l'enclos
Solution
Calcul de l'aire de l'enclos en fonction de la longueur x
On connaît le périmètre de l'enclos donc si
x est la longueur de l'enclos
y est la largeur de l'enclos
on a \(75 = 2x+2y\) donc \(y=\dfrac{75-2x}{2}\)
L'aire de l'enclos est \(xy\) donc si \(\mathcal A(x)\) désigne l'aire, on a :
\(\mathcal A(x)=x(37,5-x)\)
Remarque :
On reconnaît dans l'expression de l'aire un trinôme du second degré. C'est donc une parabole. L'examen de la courbe sur la calculatrice nous montre bien la présence d'un sommet correspondant à l'aire maximale.
La propriété de symétrie de la parabole suggère que l'abscisse de ce sommet est au milieu des deux points extrêmes correspondant à x=0 et x=37,5
Méthode : Calcul de l'abscisse du sommet
On a \(\mathcal A(0)=\mathcal A(37,5)=0\) donc l'abscisse du sommet vaut \(x_S=\dfrac{0+37,5}{2}=18,75\)
Conclusion
Pour obtenir une longueur maximale, le fermier devra construire un enclos de longueur 18,75m et de largeur 18,75m. C'est donc un enclos carré qui fourni la meilleure aire.