Aire maximale à périmètre constant

A l'aide de 75 mètres de grillage, un fermier veut réaliser un enclos rectangulaire d'aire maximum dans une vaste prairie.

Question

Comment doit-il s'y prendre ?

Indice

On pourra poser x la longueur de l'enclos

Indice

Exprimer en fonction de x la largeur puis l'aire de l'enclos

Solution

Calcul de l'aire de l'enclos en fonction de la longueur x

On connaît le périmètre de l'enclos donc si

  • x est la longueur de l'enclos

  • y est la largeur de l'enclos

on a \(75 = 2x+2y\) donc \(y=\dfrac{75-2x}{2}\)

L'aire de l'enclos est \(xy\) donc si \(\mathcal A(x)\) désigne l'aire, on a :

\(\mathcal A(x)=x(37,5-x)\)

Remarque

On reconnaît dans l'expression de l'aire un trinôme du second degré. C'est donc une parabole. L'examen de la courbe sur la calculatrice nous montre bien la présence d'un sommet correspondant à l'aire maximale.

La propriété de symétrie de la parabole suggère que l'abscisse de ce sommet est au milieu des deux points extrêmes correspondant à x=0 et x=37,5

MéthodeCalcul de l'abscisse du sommet

On a \(\mathcal A(0)=\mathcal A(37,5)=0\) donc l'abscisse du sommet vaut \(x_S=\dfrac{0+37,5}{2}=18,75\)

Conclusion

Pour obtenir une longueur maximale, le fermier devra construire un enclos de longueur 18,75m et de largeur 18,75m. C'est donc un enclos carré qui fourni la meilleure aire.