Ensemble des primitives d'une fonction
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle I et \(F\) une primitive de \(f\), c'est-à-dire telle \(F'=f\).
Alors l'ensemble des primitives de \(f\) est constitué par les fonctions \(G\) définies sur I par :
\(G(x)=F(x)+k\), où \(k\) est une constante réelle.
De plus, pour deux valeurs réelles \(x_0\) et \(y_0\) données, il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) telle que \(G(x_0)=y_0\).
Exemple :
Soit \(f\) la fonction définie et continue sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3x²-3x\). Alors une primitive est donnée par \(F(x)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2\).
Si \(x_0=-1\) et \(y_0=7\), alors une autre primitive de \(f\) est de la forme \(G(x)=F(x)+k\).
Donc, \(G(-1)\) devant être égal à 7, on a :
\(F(-1)+k=7\) donc \((-1)^3-\dfrac{3}{2}\times(-1)^2+k=7\) donc \(-\dfrac{5}{2}+k=7\) donc \(k=7+\dfrac{5}{2}=\dfrac{19}{2}\).
Ainsi, \(G(x)=x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{19}{2}\).