ROC : Toute fonction continue sur [a ;b] admet des primitives
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a ;b]\).
On admet qu'alors la fonction \(f\) admet un minimum \(m\in[a ;b]\).
Question
Démontrer que \(f\) admet des primitives sur \([a ;b]\).
Indice
On séparera le cas où \(m\geqslant 0\) du cas où \(m<0\).
Solution
Si m est positif ou nul
Dans ce cas on peut affirmer que la fonction f est continue et positive sur \([a ;b]\).
Nous savons alors que \(F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)~dt\) est une primitive de \(f\) sur \([a ;b]\).
Si m strictement négatif
On se ramène alors au cas précédent en définissant sur \([a ;b]\) la fonction \(g :x\longmapsto f(x)+(-m)\). En effet,
la fonction \(g\) est continue sur \([a ;b]\) puisque l'est.
La fonction \(g\) est positive sur \([a ;b]\) puisque son minimum est \(m+(-m)=0\)
Donc d'après le premier cas, la fonction \(g\) admet donc une primitive G telle que \(G'=g\).
Considérons sur \([a ;b]\) la fonction \(F : x \longmapsto G(x)+mx\).
Alors \(F\) est dérivable sur \([a ;b]\) comme somme de fonctions dérivables et \(F'(x)=G'(x)+m=g(x)+m=f(x)-m+m=f(x)\)
La fonction \(F\) est donc une primitive de \(f\) sur \([a ;b]\).
Question
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle I, démontrer que toutes les autres primitives sont de la forme \(x\longmapsto F(x)+k\) où \(k\) est une constante réelle.
Solution
Si \(F\) est une primitive de \(f\), il est clair que \(F+k\) l'est aussi car \((x\longmapsto k)'=0\).
Réciproquement
Supposons que \(F\) et \(G\) soient deux primitives de \(f\) sur I.
Alors \(F-G\) est dérivable sur I et \((F-G)'=f-f=0\) sur I.
La fonction \(F-G\) est donc égale à une constante \(k\) sur I ce qui démontre la dernière partie de cette propriété puisque \(G=F+k\).
Une fonction qui possède une primitive en possède donc une infinité mais elles ne diffèrent qu'à une constante près.
Par contre, si \(x_0\in I\), pour une valeur \(y_0\) donnée, il n'existe qu'une seule primitive telle que \(F(x_0)=y_0\).