Intégrales et primitives

Dans ce cas on peut affirmer que la fonction f est continue et positive sur \([a ;b]\).

Nous savons alors que \(F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)~dt\) est une primitive de \(f\) sur \([a ;b]\).

On se ramène alors au cas précédent en définissant sur \([a ;b]\) la fonction \(g :x\longmapsto f(x)+(-m)\). En effet,

• la fonction \(g\) est continue sur \([a ;b]\) puisque l'est.

• La fonction \(g\) est positive sur \([a ;b]\) puisque son minimum est \(m+(-m)=0\)

Donc d'après le premier cas, la fonction \(g\) admet donc une primitive G telle que \(G'=g\).

Considérons sur \([a ;b]\) la fonction \(F : x \longmapsto G(x)+mx\).

Alors \(F\) est dérivable sur \([a ;b]\) comme somme de fonctions dérivables et \(F'(x)=G'(x)+m=g(x)+m=f(x)-m+m=f(x)\)

La fonction \(F\) est donc une primitive de \(f\) sur \([a ;b]\).

Si \(F\) est une primitive de \(f\), il est clair que \(F+k\) l'est aussi car \((x\longmapsto k)'=0\).

Supposons que \(F\) et \(G\) soient deux primitives de \(f\) sur I.

Alors \(F-G\) est dérivable sur I et \((F-G)'=f-f=0\) sur I.

La fonction \(F-G\) est donc égale à une constante \(k\) sur I ce qui démontre la dernière partie de cette propriété puisque \(G=F+k\).