Montrer qu'une fonction est une primitive.
On donne deux fonctions définies sur \(]-1 ;+\infty[\) :
\(f :x\longmapsto \dfrac{3}{(x+1)^2}\)
\(F :x\longmapsto \dfrac{2x-1}{x+1}\)
Question
Démontrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur l'intervalle \(]-1 ;+\infty[\).
Indice
Après avoir vérifié que les fonctions sont bien définies sur l'intervalle considéré, on pourra calculer \(F'\).
Solution
Sur l'intervalle \(]-1 ;+\infty[\), le dénominateur des fonctions \(f\) et \(F\) ne s'annule pas car \(x+1>0\). Il n'y a donc pas de problème de définition ou de dérivabilité pour ces fonctions sur l'intervalle considéré.
Pour calculer \(F'\), on applique la formule de la dérivée d'un quotient avec \(u(x)=2x-1\) et \(v(x)=x+1\). On a \(u'(x)=2\) et \(v'(x)=1\).
\(F'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2(x+1)-1(2x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}=f(x)\)
Méthode :
On a montré que \(F\) était dérivable sur \(]-1 ;+\infty[\) et que pour tout \(x\in ]-1 ;+\infty[, F'(x)=f(x)\)
\(F\) est donc une primitive de \(f\) sur \(]-1 ;+\infty[\)
Question
Montrer qu'il existe une unique primitive \(G\) de \( f\) sur \(]-1 ;+\infty[\) telle que \(G(0)=0\)
Indice
On se rappelle que les primitives sont définies à une constante près.
Solution
Méthode :
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(G(x)=F(x)+k\) où \(k\) est une constante réelle. Il faut donc calculer \(k\) de manière à avoir \(G(0)=0\).
\(G(0)=F(0)+k=\dfrac{-1}{1}+k=k-1\)
On veut que \(G(0)=0\) donc \(k-1=0\) donc \(k=1\).
Il existe donc une unique primitive de \(f\) prenant la valeur 0 en 0 : c'est \(G(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}+1\)
Complément :
On peut réduire l'expression de \(G\) en mettant le tout au même dénominateur :
\(G(x)=\dfrac{2x-1+x+1}{x+1}\) donc \(G(x)=\dfrac{3x}{x+1}\)
Les expressions de \(F\) et de \(G\) diffèrent donc et il n'est pas toujours évident au premier coup d'œil de voir qu'elles ne diffèrent qu'à une constante près.