Introduction

Le calcul de l'aire d'une surface a été l'un des moteurs dans la mise en place des concepts mathématiques. Beaucoup de grands mathématiciens se sont penchés sur ce problème, depuis Archimède[1] qui calcula l'aire de la surface située sous une parabole, Bonaventura Cavalieri[2] qui développa sa théorie des indivisibles, Gilles de Roberval[3] qui calcula l'aire sous une arche de cycloïde, Gottfried Leibniz[4] qui utilisa pour la première fois le symbole \(\int\), jusqu'à Bernhard Riemann[5] qui établit une théorie aboutie du calcul intégral.

Aujourd'hui, le calcul intégral permet :

  • de mesurer des grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux...). La trompette de Toricelli fourni un exemple de calcul d'aire et de volume avec cet objet incroyable possédant un volume fini mais une aire infinie !

  • de calculer des probabilités et des statistiques (c'est l'outil de base que nous utiliserons dans le chapitre des lois continues)

  • de résoudre des équations différentielles omniprésentes en mathématiques et en physique (mouvement, quantité d'énergie, ondes, mécanique quantique...)

Son utilisation est très fréquente dans le monde de l'industrie (automatisme, électronique). C'est donc un outil incontournable pour comprendre le monde qui nous entoure.

Dans ce marathon intellectuel qui s'apparente plus à une course de relais vers le calcul infinitésimal, les mathématiciens étaient en compétition pour trouver une méthode générale pour calculer des aires et des volumes de figures courbes. L'idée grecque était d'approcher une figure courbe par des polygones inscrits. En essayant d'améliorer peu à peu l'approche, ils employaient un nombre croissant de côtés. Cette approche grecque antique s'appelle "la méthode d'exhaustion."

La géométrie analytique a montré l'intérêt de cette méthode d'exhaustion et lui a permis d'analyser des problèmes d'aire et de volume grâce aux équations algébriques. Ceci a conduit au développement graduel d'une nouvelle et puissante discipline maintenant appelée calcul intégral.

En même temps, les questions de vitesse, d'accélération et le comportement des quantités variables a conduit au développement d'une nouvelle branche des mathématiques appelée calcul différentiel. Le calcul différentiel et intégral fut une combinaison d'idées provenant de nombreuses sources, avec

• Oresme,

• Galilée,

• Kepler,

• Descartes,

• Fermat,

• Torricelli,

• et Isaac Barrow qui a partagé ses idées

• avec Isaac Newton.

Construisant sur les bases établies par ces pionniers, Isaac Newton et Wilhelm Leibniz achevèrent cette course vers l'analyse... en une finale controversée, avec photo finish. Voici une de leurs découvertes principales. Prenez n'importe quelle fonction et utilisez l'intégrale pour calculer l'aire sous son graphe. Ceci vous donne une nouvelle fonction appelée la fonction aire. Calculez maintenant la dérivée ou le taux d'accroissement de la fonction aire. Et voilà que le résultat est la fonction originale ! Ce lien remarquable entre l'intégrale et la dérivée est devenu un outil inestimable, faisant de l'analyse la langue commune de la science et qui inaugura une nouvelle ère dans l'histoire des mathématiques.

Introduction au calcul intégral