Définition
Nous avons vu qu'une manière de calculer les intégrales était de s'appuyer sur une fonction dont on connaissait la dérivée, et donc en quelque sorte, de faire le processus de dérivation à l'envers. Nous allons formaliser cette démarche dans cette section au moyen de la notion de primitives d'une fonction.
Définition : Primitive
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et \(f\) une fonction continue définie sur l'intervalle \([a ;b]\).
On appelle primitive de \(f\) sur \([a ;b]\) toute fonction \(F\) dérivable sur l'intervalle \([a ;b]\) telle que pour tout \(x\in[a ;b], F'(x)=f(x)\).
Exemple :
Soit \(f(x)=3x^2+2x+1\). Une primitive de f est \(F(x)=x^3+x^2+x\)car \(F'(x)=f(x)\).
Mais une autre primitive de \(f\) est \(G(x)=x^3+x^2+x+2\) car \(G'(x)=f(x)\). On ne peut donc pas parler de la primitive d'une fonction mais d'une primitive. La propriété suivante explicite ce phénomène :
Fondamental :
Si \(F\) est une primitive d'une fonction \(f\) sur un intervalle \([a ;b]\), alors toutes les primitives de \(f\) sont du type \(F(x)+k\) où \(k\in \mathbb R\). Les primitives se définissent donc à une constante près.