Approche d'une limite infinie en l'infini
On considère la fonction définie sur \(]0 ;+\infty[\) par :
\(f :x\longmapsto \sqrt x\)
Question
D'après la courbe représentative de la fonction, conjecturez sa limite en \(+\infty\).
Solution
On sait que la courbe est une parabole couchée. On peut conjecturer à la lecture de la courbe que celle-ci "grimpe à l'infini" quand \(x\) devient de plus en plus grand. Donc on peut penser que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
On se souvient de la définition rigoureuse d'une limite infinie d'une suite. Nous allons nous en inspirer pour montrer que la fonction f peut prendre des valeurs arbitrairement grandes pour peu que l'on prenne des valeurs de x suffisamment grandes.
Question
Soit A un réel positif. Démontrer qu'il existe un nombre m tel que \(f(x)>A\) dès que \(x>m\).
Indice
On pourra utiliser le résultat que la fonction racine est croissante.
Solution
Posons \(m=A^2\). On sait que la fonction racine est croissante donc elle conserve les inégalités.
Par conséquent, si \(x>m, f(x)>f(m)\). Or \(f(m)=\sqrt {A^2}=A\) car \(A>0\) ce qui montre le résultat demandé.