Lien avec l'intervalle de fluctuation de seconde
Soit f la fonction définie sur \(]0 ;1[\) par \(f(p)=p(1-p)\)
f est un polynôme du second degré, dont le coefficient dominant est négatif et qui admet deux racines : 0 et 1.
\(f\) admet donc un maximum pour \(p=\dfrac{1}{2}\). Ce maximum est \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\)
donc pour toute valeur de \(p\in~]0 ;1[\), \(p(1-p)\leqslant \dfrac{1}{4}\) et donc \(\sqrt{p(1-p)}\leqslant \dfrac{1}{2}\) puisque la fonction racine est croissante.
Par conséquent, \(1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \leqslant 1,96\times \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt n}<\dfrac{1}{\sqrt n}\) puisque 1,96<2
Fondamental :
L'intervalle \(I=\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) est donc inclus dans l'intervalle asymptotique \(I=\left[ p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} ; p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]\) que nous venons de voir.
Ce dernier est donc un peu plus précis, ce qui conforte le constat que nous avons établi en début de ce chapitre. La formule vue en seconde est donc une simplification de la formule de terminale qui provient de l'approximation d'une loi binomiale par la loi normale.